Tratamiento didáctico de la superficie y el volumen

Sesión 3ª, 03/03/2016

Comenzamos la clase debatiendo sobre una cuestión: Libros de texto, ¿sí o no?

Algunos grupos mantienen la idea de que sí es bueno el libro de texto, pero usándolo como un recurso más del aula, evitando caer en la enseñanza tradicional donde el libro es el eje del curriculum. Otros nos decantamos rompedores con el sistema y rechazamos los libros, con el fin de potenciar la programación única y personal del docente elaborando los recursos adaptados al alumnado.

Las editoriales se han dado cuenta de esta realidad donde el libro de texto entra en crisis frente a los nuevos modelos de enseñanza donde las nuevas tecnologías y la atención cada vez más individualizada al alumnado cuestiona el uso del libro de texto. Por ello, han creado los libros digitales y plataformas de aprendizaje, pero eso no es suficiente. Los docentes debemos estar alertas a los ritmos de aprendizaje para aplicar la metodología adecuada.

Los libros de texto tienen cosas positivas y negativas, lo importante es que el docente tenga criterio para elegir. También hay que estar abierto a conocer y probar otras metodologías como el PLE y el Flipped Classroom.

Después visionamos La geometría hace arte, donde, a través del análisis del monumento histórico la Alhambra de Granada, se hace un viaje por los diecisiete grupos de particiones simétricas en el plano. Una manera muy realista, conectando con un elemento cercano, de ver la conexión de las matemáticas con el arte.

A continuación, pasamos a ver una presentación sobre el tratamiento didáctico de la superficie y el volumen.

La superficie es la parte externa de un cuerpo que sirve de delimitación con el exterior. Extensión en la que sólo se consideran dos dimensiones, largo y ancho.

El volumen es la magnitud que expresa la extensión de cuerpo en tres dimensiones, largo, alto y ancho. Es una magnitud escalar definida como la extensión de tres dimensiones de una región del espacio.

Para obtenerlas, las magnitudes pueden ser tratadas como:

• Unidimensionales: Se compara la superficie o el volumen con el patrón y mediante un proceso aditivo obtenemos el valor.
• Multidimensionales: Obtenemos la superficie y el volumen como producto de varias medidas longitudinales.

Uno de los recursos para el tratamiento didáctico de la superficie es el tangram. El tangram es un juego de origen chino muy antiguo llamado Chi Chiao Pan (tabla de la sabiduría). Es un puzzle que consta de siete piezas que salen de cortar un cuadrado en cinco triángulos de diferentes formas, un cuadrado y un paralelogramo. El juego consiste en usar todas las piezas para construir diferentes formas. Aunque originalmente estaban catalogadas tan solo algunos cientos de formas, hoy día existen más de 10.000.

Existen en internet muchas plantillas gratuitas para que los docentes realicemos en clase este juego. Los propios alumnos pueden dibujar y recortar cada una de sus piezas siguiendo las pautas del docente para después jugar a crear distintas figuras.

Las piezas guardan relación en torno a la proporción y podemos calcular el perímetro y área de cada una de ellas.

Si quieren saber más sobre los tangram, pueden visitar el siguiente enlace:

http://www.juegotangram.com.ar/

Otro recurso imprescindible el geoplano. Es un tablero plano rígido en el que se dispone una trama de clavos o pivotes que sobresalen y que se encuentran dispuestos a una distancia fija entre ellos y/o formando una distribución regular

El geoplano fue inventado por el matemático y pedagogo egipcio Galeb Gattegno (1911-1988) para enseñar geometría a niños pequeños. Consiste en una superficie plana en la que se dispone, de manera regular, una serie de puntos. Dependiendo de cómo estén colocados estos puntos, se distinguen varios tipos de geoplanos, aunque los que más se utilizan son el geoplano triangular, el cuadrado o cuadrangular y el circular.

Los tableros que constituyen los geoplanos necesitan de un material auxiliar para su mejor aprovechamiento didáctico: los elásticos de caucho o gomillas o hilos de varíos colores y las tramas isométricas o representaciones planas sobre papel y mediante tramas de puntos, de las mismas distribuciones de los clavos en los geoplanos. Las tramas isométricas se pueden también utilizar independientemente de los tableros y las gomillas, por lo que es posible encontrar información sobre ellas como material didáctico independiente de los geoplanos.

El Teorema de Pick se aplica a polígonos cuyos vértices tienen coordenadas enteras; en otras palabras, formas cerradas que puedes dibujar pasado por los «cruces» de una retícula de cuadrados como las de un cuaderno.

Resulta que si cuentas los puntos hay están en el interior (i) y en los que hay en intersecciones de los bordes (b), el área de la figura es exactamente A = i + (b/2) - 1. En este ejemplo hay 40 interiores y 12 en el borde, por tanto el área es A = 40 + 12/2 - 1 = 45.

Para hallar el área de las figuras planas y de los cuerpos geométricos, también contamos con las fórmulas:

Hay otra estrategia que a los alumnos les puede venir muy bien para aprender el concepto de volumen. Se trata de descomponer o realizar el desarrollo plano de poliedros.

A continuación, dimos un repaso a los frisos, mosaicos y fractales. Un friso es una composición geométrica que se genera al trasladar sucesivamente una figura o un grupo de figuras, según el mismo vector de traslación horizontal.

Un mosaico es una composición geométrica que se genera al transformar sucesivamente una figura o grupo de figuras, llamada módulo básico o tesela, que produce el recubrimiento del plano, con las siguientes condiciones:

• No pueden superponerse.
• No pueden dejar huecos sin recubrir.

Un  es una figura, que puede ser espacial o plana, formada por componentes infinitos. Su principal característica es que su apariencia y la manera en que se distribuye estadísticamente no varía aun cuando se modifique la escala empleada en la observación.

Son figuras que tienen perímetro infinito y área finita.

Debemos conocer a nuestros alumnos y prever los errores de los alumnos en la medida de la superficie y el volumen:

Estas son las concepciones de los alumnos de 11-15 años sobre el volumen:

• El lugar ocupado por…
• El espacio ocupado por…
• Las tres dimensiones en las que nos desplazamos…
• Lo que puede contener un objeto…
• El conjunto de toda la habitación…
• Lo que hay dentro de una cosa…
• Es el largo, el alto y el ancho…
• Etc.

Y las palabras relacionadas con el término son: bulto, balumba, cuerpo, corpulencia, capacidad, solidez, molde, espacio, dimensión.

Por otro lado, el vocabulario relacionado con el término capacidad es: cabida, espacio, extensión, aforo, tonelaje, porte, cabimiento, arqueo.

La constitución del objeto mental volumen, según Freudenthal debe seguir la siguiente secuencia:

1. Comenzar con transformaciones de romper y rehacer.
2. Continuar con la equivalencia de capacidad de recipientes abiertos y volumen de cuerpos sólidos.
3. Seguir con transformaciones reales de vaciar para comparar contenidos.
4. Abordar las transformaciones que conservan y no conservan el volumen.

Tratamiento de Magnitudes y su medida

Sesión 2ª, 25/02/2016

En la primera parte de la clase hablamos sobre el tratamiento escolar de las magnitudes y su medida. Lo fundamental es que nuestros discentes reflexionen y sean conscientes de que en la cotidianidad vivimos diversas situaciones en las que aparece la estimación, comparación o medida de alguna magnitud. Por ejemplo:

• Estimar la mitad de la taza para preparar un café con leche.
• Repostar combustible (precio del litro y lo que pensamos gastar).
• Analizar qué calentador debemos comprar según los litros que gastemos y el espacio que tengamos para instalarlo.
• Medir la cantidad de detergente de la lavadora.
• Estimar el tiempo que nos durará la cantidad de batería de móvil que nos queda según el uso que le vayamos a dar.
• Pensar en los mejores itinerarios cada vez que vayamos a salir de casa.

La escuela suele tratar la medida de forma algorítmica, trabajando las equivalencias entre unidades de forma mecánica, olvidando la medición efectiva de objetos. El conocimiento de magnitudes es esencial para que el alumno comprenda su entorno y maneje datos de carácter vital en su desarrollo. La medida es un instrumento fundamental en relación con otras áreas del currículo, permitiendo un mejor tratamiento de la transversalidad.

Podemos resumir que los entornos de medida son los siguientes:

• Objetos soporte
• Cantidades de magnitud
• Imagen medida
• Medición
• Magnitud considerada
• Aplicación de la medida
• Medida concreta
• Orden de la magnitud

Se aconseja que los discentes realicen la medición real de objetos diversos tomados del entorno cotidiano, aunque suponga un cambio en la preparación didáctica por parte del maestro. Las actividades de manipulación tanto en el marco aritmético como geométrico son muy apropiadas para este cometido.

Para ello es razonable utilizar medidas antropométricas como el palmo, el brazo el paso, etc., por ser cercanas al niño en su etapa escolar. El sistema métrico decimal es más reciente, tiene aproximadamente siglo y medio.

En la vida real hay muy pocas medidas exactas, sin embargo, en la realidad escolar nos encontramos algo distinto en cuando a la medida:

• Prácticas escolares homogéneas: Actividades formales centradas en conversiones de medidas, sin entrar en estimaciones y aproximaciones.
• Escaso manejo de instrumentos de medida: No se manejan instrumentos de medida, se limita al uso de la cinta métrica y la balanza.
• Ignorancia de los métodos de medición y de los instrumentos de medida: Desconocimiento de métodos e instrumentos que conlleva prácticas defectuosas.
• Incapacidad de los alumnos para distinguir ciertas magnitudes: Confusiones entre perímetro y área, masa y volumen, etc.

Esto da lugar a un desarrollo en el aprendizaje incompleto, dando lugar a una serie de errores atribuibles a esta metodología tradicional:

• Uso erróneo de los sentidos: Mal uso de los sentidos en la medición.
• Uso de instrumentos inadecuados y mal anejo de éstos: Por ejemplo, usar una regla graduada para medir la longitud de una curva.
• Errores debidos a malos procedimientos o a elecciones de unidades inadecuadas: La elección adecuada de la unidad o el procedimiento es didácticamente fundamental.
• Resolución de problemas con datos erróneos o no reales: Enunciados erróneos y datos irreales confunden a los alumnos.
• Abuso de la exactitud en las medidas: Hay que usar medidas reales en las que aparece aproximaciones y estimaciones, pues se abusa de los números enteros.
• Escrituras erróneas o sin sentido: Los errores en la escritura confunden a los alumnos.
• Carencia de estrategias para medir objetos comunes: Se usan objetos con formas regulares, cuando el mundo real está lleno de objetos con formas irregulares.

Para evitar caer en estos errores, debemos desarrollar un currículo que conecte con la vida cotidiana del alumno/a, usar metodologías activas y participativas donde la manipulación sea fundamental. Vemos a continuación algunos ejemplos:

• Describir situaciones en las que la medición implique acción y otras en las que solo sea una actividad mental.
• Relacionar cantidades de magnitud a medir con la unidad más adecuada.
• Proponer una actividad al niño en la que deba elegir una unidad de medida y el instrumento más adecuado.
• Citar instrumentos de medida, para distintas magnitudes, que todo ciudadano debe conocer.
• Diseñar una actividad en la que se especifique qué medir, qué unidad utilizar en la medida y el procedimiento a seguir.

Aspectos generales sobre Magnitud, Cantidad y Medida

Sesión 1, 18/02/2016

Tema 1: Magnitud, cantidad y medida

En esta primera sesión de clase realizamos una clarificación de los conceptos que tienen relación con la Didáctica de la Medida. No es lo mismo magnitud que medir, ya que el primero hace referencia a una característica observable y medir a la acción.

• Magnitud: Propiedad, característica física o atributo de los cuerpos, entes, colecciones, fenómenos o situaciones, que puede ser cuantificada y expresada mediante un número y un patrón o unidad.
• Medir: Asignar un código identificativo a las distintas modalidades o grados de una característica de un objeto a otro, o ser coincidente en dos o más objetos.
• Cantidad: Manifestación concreta o un caso particular de la misma. Se pueden comparar, ordenar y medir.

Algunos ejemplos de magnitud son: la longitud (l), la masa (m), el tiempo (t), la temperatura (T), la intensidad de corriente (I), intensidad luminosa (I), cantidad de sustancia (n), el volumen (V), la densidad (p), la velocidad (v), la aceleración (a), la fuerza (F), la presión (p) y el trabajo (W).

También repasamos la clasificación de las magnitudes y las medidas según la tipología. Abajo añado una imagen que lo resume.

Por último, hablamos de la estimación. Se trata de un juicio de valor del resultado de una operación numérica o de la medida de una cantidad en función de circunstancias individuales del que lo emite. La escuela en ocasiones cae en el error de tratar la enseñanza de las matemáticas como cálculos exactos donde el error es tratado como algo negativo. Pero realizar estimaciones, aproximaciones y redondeos son importantes para la vida diaria (por ejemplo, cuando vamos de compras y realizamos cálculos sobre el gasto aproximado que tendremos), es por ello por lo que la estimación no puede obviarse en el proceso de enseñanza-aprendizaje.

Presentación

Hola a todos,

Mi nombre es Rosa Vallejo, soy licenciada en Pedagogía, masterizada en Políticas y prácticas de Innovación Educativa, y actualmente estoy terminando los estudios de Magisterio de Educación Primaria, en la Facultad Ciencias de la Educación de Málaga.

Esto último es el motivo por el que creo este blog dedicado a la Didáctica de la Medida, una de las asignaturas obligatorias del último año de carrera.

Reconozco que, respecto al área de matemáticas, necesito aprender más conocimientos pedagógicos y didácticos para aplicar en el aula (nunca alcanzaremos la suficiencia en la formación docente). De modo que espero aprender y compartir con vosotros este proceso de formación tan necesario para mí, y espero que sea útil para mis lectores, pues el desarrollo del currículo, escolar en general y de las matemáticas en particular, es el eje vertebrador del proyecto vital de nuestros alumnos y alumnas, y los docentes debemos facilitar este camino.

Este blog esta organizado de la siguiente manera:

• Página principal: en ella irán apareciendo las entradas que iré realizando ordenadas de más a menos recientes. Estas entradas pueden tratar experiencias interesantes que haya tratado en las clases de la asignatura, información sobre recursos útiles que podemos utilizar en el aula, o resúmenes y comentarios sobre páginas web de la misma temática.
• Experiencias de clase: En esta página iré ordenando la información de las entradas sobre las clases, con el fin de facilitar el acceso a estas sesiones.
• Recursos interesantes: Del mismo modo, reuniré todo lo publicado sobre recursos (especialmente sobre tics) para darle uniformidad como temática.
• Webs interesantes: Consistirá en una webgrafía de los enlaces que vaya comentando en las entradas.

Con esta organización espero estructurar de manera ordenada mis aprendizajes y facilitar la navegación por el blog. Tengo que agradecer el diseño de la plantilla a Splashy Templates, que pone a disposición de los blogueros plantillas gratuitas, estéticas y prácticas como esta que estoy utilizando.